quæque fimpliciora funt ad magis ardua viam conftanter aperiunt.

Linearum tertii ordinis proprietates generales a Newtono traditæ parallelarum fegmenta & afymptotos pleræque fpectant. Alias harum affectiones quafdam diverfi generis breviter indicavimus in tractatu de fluxionibus nuper edito, Art, 324, & 401. Celeberrimus Coteftus pulcherrimam olim detexit linearum geometricarum proprietatem, hucufque ineditam, quam abfque demonftratione nobis communicavit vir Reverendus D. Robertus Smith, Collegii S. S. Trinitatis apud Cantabrigienfes præfectus, doctrina operibufque fuis pariter ac fide & ftudio in amicos clarus. De his meditantibus nobis alia quoque fe obtulerunt theoremata generalia; quæ cum ad arduam hanc geometriæ partem augendam & illuftrandam conducere viderentur, ipfa quafi in falciculum congerenda & una ferie breviter exponenda & demonftranda putavimus,

SECTIO I.

De Lineis Geometricis in genere.

11. Leoni fcilicet, definiuntur, unde earum proprie

Ineæ fecundi ordinis fectione folidi geometrici,

tates per vulgarem geometriam optime derivantur. Verum diverfa eft ratio figurarum quæ ad fuperiores linearum ordines referuntur. Ad has definiendas, earumque proprietates eruendas, adhibendæ funt æquationes generales co-ordinatarum relationem exprimentes. RepræFig. 1. fentet x abfciffam AP, y ordinatam PM figuræ FMH, denotentque a, b, c, d, e, &c. coefficientes quafcunque

invariabiles; & dato angulo APM fi relatio co-ordinatarum x & y definiatur æquatione quæ, præter ipfas coordinatas, folas involvat coefficientes invariabiles, linea FMH geometrica appellatur; quæ quidem auctoribus quibufdam linea algebraica, aliis linea rationalis dicitur. Ordo autem lineæ pendet ab indice altiffimo ipfius x vel y in terminis æquationis a fractionibus & furdis liberatæ, vel a fumma indicis utriufque in termino ubi hæc fumma prodit maxima. Termini enim x2, xy, y2 ad fecundum ordinem pariter referuntur; termini x3, xy, xy2, y3 ad tertium. Itaque æquatio y =ax+b, five y—ax — b=0, eft primi ordinis & defignat lineam five locum primi ordinis, quæ quidem femper recta eft. Sumatur enim Fig. 2. in ordinata PM recta PN ita ut PN fit ad AP ut + a ad unitatem; conftituatur AD parallela ordinatæ PM æqualis ipfib, & ducta DM parallela recta AN erit locus cui æquatio propofita refpondebit. Nam PM = PN+ NM = (a × AP + AD) ax + b. Quod fi æquatio fit formæ y axb, vel y-ax + b, recta AD, vel PN, fumenda eft ad alteram partem abfciffe AP; contrarius enim rectarum fitus contrariis coeffici entium fignis refpondet. Si valores affirmativi ipfius x defignent rectas ad dextram ductas a principio abfciffæ A, valores negativi denotabunt rectas ab eodem principio ad finiftram ductas ; & fimiliter fi valores affirmativi ipfius y ordinatas repræfentent fupra abfciffam conftitutas, negativi defignabunt ordinatas infra abfciffam ad oppofitas partes ductas.

Æquatio generalis ad lineam fecundi ordinis eft hujus

& æquatio generalis ad lineas tertii ordinis eft y3

ax + b × y2 + cxx — dx + e x y — ƒx3 + gx2 - hx + k = 0. Et fimilibus æquationibus definiuntur lineæ geometricæ fuperiorum ordinum.

§ 2. Linea geometrica occurrere poteft recta in tot punctis quot funt unitates in numero qui æquationis ve! lineæ ordinem defignat, & nunquam in pluribus. Occurfus curvæ & abfciffe AP definiuntur ponendo y = 0, quo in cafu reftat tantum ultimus æquationis terminus quem y non ingreditur. Linea tertii ordinis ex. gr. occurrit abfciffæ AP cum fx3-gx2 + bx-ko, cujus æquationis fi tres radices fint reales abfciffa fecabit curvam in tribus punctis. Similiter in æquatione generali cujufcunque ordinis index altiffimus abfciffæ x equalis eft numero qui lineæ ordinem defignat, fed nunquam major, adeoque is eft numerus maximus occurfuum curvæ cum abfciffa vel alia quavis recta. Cum autem æquationis cubicæ unica faltem radix fit femper realis, idemque conftet de æquatione quavis quinti aut imparis cujufvis ordinis (quoniam radix quævis imaginaria aliam neceffario femper habet comitem), fequitur lineam tertii aut imparis cujufcunque ordinis rectam quamvis afymptoto non parallelam in eodem plano ductra in uno faltem puncto neceffario fecare. Si vero recta fit asymptoto parallela, in hoc cafu vulgo dicitur curvæ occurrere ad diftantiam infinitam. Linea igitur imparis cujufcunque ordinis duo faltem habet crura in infinitum progredientia. Equationis autem quadraticæ vel paris cujufvis ordinis radices omnes nonnunquam fiunt imaginariæ, adeoque fieri poteft ut recta in plano lineæ paris ordinis ducta eidem nullibi occurrat.

§3. Equatio fecundi aut fuperioris cujufcunque ordinis quandoque componitur ex tot fimplicibus, a furdis & fractis liberatis, in se mutuo ductis quot funt ipfius æquationis propofitæ dimenfiones; quo in cafu figura FMH non eft curvilinea fed conflatur ex totidem rectis, quæ per fimplices has æquationes definiuntur ut in Art. I. Similiter fi æquatio cubica componatur ex æquationibus duabus in fe mutuo ductis, quarum altera fit quadratica altera fimplex, locus non erit linea tertii ordinis proprie fic dicta, fed fectio conica cum rectâ adjunctâ. Proprietates autem quæ de lineis geometricis fuperiorum ordinum generaliter demonftrantur, afirmandæ funt quoque de lineis inferiorum ordinum, modo numeri harum ordines defignantes fimul fumpti numerum compleant qui ordinem dictæ fuperioris lineæ denotat. Quæ de lineis tertii ordinis (ex. gr.) generaliter demonftrantur affirmanda quoque funt de tribus rectis in eodem plano ductis, vel de fectione conica cum unica quavis recta fimul in eodem plano defcriptis. Ex altera parte, vix ulla affignari poteft proprietas lineæ ordinis inferioris fatis generalis cui non refpondeat affectio aliqua linearum ordinum fuperiorum. Has autem ex illis derivare non eft cujufvis diligentiæ. Pendet hæc doctrina magna ex parte a proprietatibus æquationum generalium, quas hic memorare tantum convenit.

§ 4. In æquatione quacunque coefficiens fecundi termini æqualis eft exceflui quo fumma radicum affirmativarum fuperat fummam negativarum ; & fi defit hic terminus, indicio eft fummas radicum affirmativarum & negativarum, vel fummas ordinatarum ad diverfas partes abfciffe conftitutarum, æquales effe. Sit equatio ge neralis ad lineam ordinis n,

y" — ax + bx y + cxx → dx +exy2 _ &c. =0,

fupponatur uy

lor u +

ax+b

n

ax+b

n

-, pro y fubftituatur ipfius va

; & in equatione transformata deerit fecundus terminus ; ut ex calculo, vel ex doctrinâ æquationum paffim traditâ facile patet: & hinc quoque conftat, quod per hypothefim valor quifque ipfius u minor fit valore correfpondente ipfius y differentia ax+b ; unde fequitur fummam valorum ipfius u (quo

rum numerus eft n) deficere a fumma valorum ipfius

y (quæ fumma eft ax + b) differentia

ax+b

n

x n = ax

+b, adeoque priorem fummam evanefcere & fecundum terminum deeffe in æquatione qua u definitur, vel affirmativos & negativos valores ipfius u æquales fum

mas conficere. Si itaque fumatur PQ =

ax+b

ut fit

QMu, rectæ ex utraque parte puncti Qad curvam terminatæ eandem conficient fummam. Locus autem Fi. 3. puncti Qeft recta BD quæ abfciffam ultra principium A

b

productam fecat in B ita ut AB = & ordinatam AD

n

ipfi PM parallelam in D ita ut fit AD == x; fi enim hæc recta ordinatæ PM occurrat in puncto Q, erit

b

PQ_ad PB (feu - + x) ut AD ad AB vel a ad n, adeo

a

ax+b

que PQ = x+6, ut oportebat. Atque hinc conftat

rectam femper duci poffe quæ parallelas quafvis lineæ geometricæ occurrentes in tot punctis quot funt figuræ dimenfiones ita fecabit ut fumma fegmentorum cujufvis

paral