(3)

sin (n+1)a. cos (n − 1) a − sin 2a=sin (n - 1) a. cos (n + 1) a.

по

(6) If A=18o, prove that sin 24= cos 34; hence prove that

(8) sin 24. sin 2B = sin2 (A + B) – sin2 (A – B).
(9) cos 44-8 cos1 A - 8 cos2 A + 1.

(10) tan 500+ cot 50°-2 sec 10o.

(11) sin 34=4 sin A. sin (60° + A) sin (60° – A).

(14) (cos a+cos y)2 + (sin x + sin y)2=4 cos2 2.

(15) 2 cos2 Á. cos2 B + 2 sin2 A . sin2 B=1+ cos 24. cos 2 B.

(20)

sin A. sin 24 + sin A. sin 44+ sin 24. sin 74
sin A. cos 2A + sin 2A. cos 5A + sin A. cos 84

-tan 54.

(21)

(22) 2 coss A - 2 sin3 A = cos 24 (1+cos2 24).

(23) (3 sin A-4 sin3 A)2+(4 cos3 A − 3 cos 4)2=1.

a

sin @ + sin (8 + $) + sin (0 +24) = tan (0 +$).
cos + cos (8+) + cos (8+2p)

=tan 2.

(25) 2

cot (n-2) a. cot na +1
cot (n-2) a-cot na

-cot a -tan a.

(26) If tan a=

and tan ẞ=1, prove tan (2a +B) = 1.

A

A

(27) Prove that tan

2

and cot are the roots of the equation 2

x2- 2x. cosec A+1=0.

, prove that

168. The following examples are symmetrical, and each involve more than two angles :

Example 1. Prove that

sin (a+B+y)=sin a. cos B. cos y + sin ẞ. cosy. cos a

+ sin y. cosa.cos ß - sin a. sin B. sin y.

sin (a+B+y)=sin (a + B). cos y+cos (a + B) sin y

=sina.cos ẞ.cos y + cos a. sin ß.cos y

=

+ cos a. cos B. sin y-sin a.

sin a. cos B. cos y + sin ẞ. cosy. cos a

sin B. sin y

+ sin y. cosa.cos ß - sin a. sin ẞ. sin y.

Q.E.D.

2

2

And

sinẞ+siny=2sin+y.cos B-y, [Art. 158]

.. sina + sin ẞ+ sin y− sin (a+B+y)

2a+B+Y sin

=2 sin B+y.cos

β-γ

COS

2 cos

2

2

2

B+Y

2

COS

2

EXAMPLES. XLIII.

Prove the following statements :

(1) cos (a+B+y)= cos a. cosẞ. cos y - cos a .

sin B. sin y

sin B.

- cos ẞ. sin y. sin a - cos y . sin a.

(2) sin (a+ẞ-y)=sin a. cos B. cos y + sin ß. cos y. cos a

(3) cos (a-B+y)= cos a. cos B. cos y + cosa. sin B. sin y -cos B. sin a.. sin y+cos y . sin ß. sin a.

(6) sin 2a + sin 2ẞ+ sin 2y - sin 2 (a+B+y)

=4 sin (B+y). sin (y+a). sin (a+B).

(8) sin (B+y-a)+sin (y+a-B) + sin (a+B-)

-sin (a+B+y)=4 sin a. sin ẞ. sin y.

(9) sin (a+B+y) + sin (B+y− a) + sin (y+a−ẞ)

− sin (a+ẞ − y) = 4 cos a. cos ẞ. sin y.

(10) cos x + cos y + cos z + cos(x + y + z)

(11) cos 2x + cos 2y + cos 2z + cos 2 (x + y + z)

2

=4 cos (y + z). cos (z+x). cos (x+y).

(12) cos (y+z-x)+cos (z+x − y) + cos(x+y−2)

+cos(x + y + z)=4 cos x .

(13) cos2 x + cos2y+cos2 z + cos2 (x+y+z)

=2{1+cos (y + z). cos (z+x). cos(x+y)}.

(14) sin2 x + sin2 y + sin2 2+sin2 (x + y + z)

=2{1−cos (y + z). cos (z+x). cos(x+y)}.

(15) cos2x+cos2y+cos2 z + cos2 (x + y − z)

=2{1+cos(x − z). cos (y − z). cos (x+y)}.

(16) cos a. sin (B− y) + cos B. sin (y - a) + cos y . sin (a — ẞ) = 0.

(17) sina.sin (8 − y) + sin ß. sin (y − a) + sin y. sin (a — ß) = 0.

(18) cos (a+B). cos (a − ß) + sin (ẞ + y) sin (ẞ − y)

(19) cos(-a). sin (8-y) + cos (8-ẞ). sin (y-a) -cos (8-y). sin (3-a)=0.

θ++

(20) 8 cos +++x, cos+x−o ̧ cos x + 0 - $

COS

2

2

= cos 20+ cos 20+ cos 2x + 4 cos e. cos.cos x +1.

CHAPTER XIII.*

ON ANGLES UNLIMITED IN MAGNITUDE. II.

169. THE words of the proofs (on pages 118, 119) of the A, B' formulæ apply to angles of any magnitude. The figures will be different for angles of different magnitude.

170. The figure for the 'A-B' formulæ on page 119 is the same for all cases in which A and B are each less than 90°.

The figure given below is for the proof of the 'A + B’ formulæ, when, A and B being each less than 90°, their sum is greater than 90°.

H

N

L

M

R

The words of the proof are precisely those of page 118.